Физические процессы в p-n переходах. Физический смысл понятия “Эффективная плотность состояний”
Страницы работы
Министерство образования РФ
Лабораторная работа№1
Физические процессы в p-n переходах
Владимир, 2002
Физический смысл понятия “Эффективная плотность состояний”
Физический смысл понятия “Эффективная плотность состояний” определяется в зоне проводимости и в валентной зоне. В зоне проводимости эффективная плотность состояний определяется формулой:
где NC – эффективная плотность состояний в зоне проводимости;
mn – эффективная масса электрона;
φt – температурный потенциал;
m – масса свободного электрона;
T – термодинамическая температура.
Из формулы (1) следует, что эффективная плотность состояний в зоне проводимости представляет собой максимально возможную концентрацию электронов в невырожденном полупроводнике. Понятие “эффективная плотность состояний” применимо в тех случаях, когда выполняется условие: энергия уровня Ферми стремиться быть равной энергии дна зоны проводимости. По физическому смыслу величина NC близка к плотности энергитических уровней в зоне проводимости в полосе энергий от φс до φс+φt (где φс — энергия дна зоны проводимости, φt — температурный потенциал).
В валентной зоне эффективная плотность состояний определяется формулой:
где NV – эффективная плотность состояний в валентной зоне;
mp – эффективная масса “дырки”;
φt – температурный потенциал;
m – масса свободного электрона;
T – термодинамическая температура.
Из формулы (2) следует, что эффективная плотность состояний в валентной зоне представляет собой максимально возможную концентрацию “дырок” в невырожденном полупроводнике. Понятие “эффективная плотность состояний” применимо в тех случаях, когда выполняется условие: энергия уровня Ферми стремиться быть равной энергии потолка валентной зоны. По физическому смыслу величина NV близка к плотности энергитических уровней в валентной зоне в полосе энергий от φv до φv-φt (где φv — энергия потолка валентной зоны, φt — температурный потенциал).
Используя распределение Ферми-Дирака для примесного полупроводника
где Ndn – концентрация нейтральных атомов донорной примеси; Ed – энергия донорного уровня, определить относительную долю ионизированных атомов фосфора с энергией активации Ec-Ed=0.044 эВ при температурах 50, 100, 300 К.
Относительная доля ионизированных атомов фосфора определяется распределением Ферми-Дирака:
где Ndn – концентрация нейтральных атомов донорной примеси;
Nd – концентрация ионизированных атомов донорной примеси;
T – термодинамическая температура.
При температуре, равной 300 К, уровень Ферми размещается в середине примесной зоны, поэтому разность между энергией донорного уровня и энергией уровня Ферми равна половине энергии активации:
Относительная доля ионизированных атомов фосфора при температуре — 300 К, равна:
При более низких температурах (T=50 К; T=100 К) уровень Ферми располагается несколько ближе к дну зоны проводимости и дальше от донорного уровня, т.к. энергия электронов прямо пропорциональна kT, и им необходимо затратить большую энергию для достижения энергии уровня Ферми. Разность между энергией донорного уровня и энергией уровня Ферми изменяется не значительно, поэтому берётся такое же значение энергии активации как при температуре 300 К для 100 К:
, для 50 К:
Ответ: для значений температур T=300 К, T=100 К и T=50 К полученны соответственно следующие результаты относительной доли ионизированных атомов фосфора: 0.459, 0.13, 0.1.
ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ
— число возможных физически неэквивалентных энергетич. состояний в малом интервале энергии 
отнесённое к ширине интервала 
где 
— число состояний с энергиями между 
(с учётом возможного вырождения энергетич. состояний). Для колебат. степеней свободы системы часто имеют в виду спектральную П. с. 
определяемую по числу состояний на интервал частот 
В этом случае 
П. с. имеет смысл вводить, либо если системаобладает непрерывным энергетич. спектром, либо если спектр дискретен, когдарасстояние между соседними энергетич. уровнями мало по сравнению с 
Если состояния системы определяются широко разнесёнными по 
дискретными уровнями, каждый из к-рых расщепляется в области, узкие посравнению с расстоянием между уровнями, то вводят П. с. вблизи каждогодискретного уровня. Это имеет место, напр., при движении электронов в сильномквантующем магн. поле (см. Ландау уровни, Лифшица— Онсагераквантование). Для свободных нерелятивистских частиц со спином . состояния характеризуются импульсом р и проекцией спина, а энергия 
= р 2 /2т (т — масса) П. с. зависит только от р:
гдемножитель v = 2s + 1 учитывает вырождение по спину s. Для квазичастиц твёрдого тела эта зависимость является более сложной,
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .
Полезное
Смотреть что такое «ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ» в других словарях:
Плотность состояний — величина, определяющая количество энергетических уровней в интервале энергий на единицу объёма в трёхмерном случае (на единицу площади в двумерном случае). Является важным параметром в статистической физике и физике твёрдого тела. Термин может… … Википедия
плотность состояний — būsenų tankis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Apibrėžtį žr. priede. priedas( ai) Grafinis formatas atitikmenys: angl. density of states; state density vok. Zustandsdichte, f rus. плотность состояний, f; плотность числа … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
плотность состояний — būsenų tankis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. state density vok. Zustandsdichte, f rus. плотность состояний, f pranc. densité d’états, f … Fizikos terminų žodynas
плотность состояний — Число состояний, приходящееся на единичный интервал энергий … Политехнический терминологический толковый словарь
плотность числа состояний — būsenų tankis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Apibrėžtį žr. priede. priedas( ai) Grafinis formatas atitikmenys: angl. density of states; state density vok. Zustandsdichte, f rus. плотность состояний, f; плотность числа … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
плотность поверхностных состояний — paviršinių būsenų tankis statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. surface state density vok. Oberflächenzustandsdichte, f rus. плотность поверхностных состояний, f pranc. concentration des états superficiels, f … Radioelektronikos terminų žodynas
Объёмная плотность — Плотности энергии разных веществ в МДж/л. У этого термина существуют и другие значения, см. Плотность (значения). О … Википедия
СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ — величины, характеризующей излучение (напр., потока излучения, силы света), отношение рассматриваемой величины, взятой в бесконечно малом спектр. интервале, содержащем данную длину волны l, к ширине этого интервала dl. Вместо l могут… … Физическая энциклопедия
ХАББАРДА МОДЕЛЬ — одна из фундам. моделей для описания систем сильно взаимодействующих электронов в кристалле. Модель была предложена в 1963 65 Дж. Хаббардом [1 ] и получила широкое развитие в последующие годы. X. м. является осн. моделью для описания зонного… … Физическая энциклопедия
2Д-система для частиц двух сортов — (Two sorts paricles 2D system) стандартная квантово механическая задача для движения частиц двух сортов (например, электронов и дырок) в замкнутой двумерной (2Д ) системе (пространственный 2Д ящик). Стандартное определение температуры в… … Википедия
Физический смысл плотности состояний
3.1. Статистическое описание коллектива частиц.
Функция распределения частиц по состояниям. Фермионы и бозоны
Согласно результатам зонной теории твердых тел электроны в кристаллах удобно рассматривать как свободные частицы, эффективная масса которых отличается от массы свободного электрона. В полупроводниках, кроме электронов, носителями заряда являются и положительно заряженные частицы — дырки. Таким образом, в явлениях, в которых основную роль играют эти частицы (электропроводность, теплопроводность, взаимодействие со светом и т.д.) твердое тело можно рассматривать как газ электронов и дырок.
Системы, состоящие из большого количества тождественных частиц, являются предметом изучения статистической физики. Основной особенностью статистических закономерностей является их вероятностный характер. Хорошо известен метод статистического описания коллектива молекул идеального газа. Несмотря на то, что скорость отдельной молекулы газа является величиной случайной в газе, состоящем из большого числа одинаковых молекул, наблюдается определенная закономерность в распределении их по скоростям. Используя методы статистической физики, всегда можно указать, какая доля молекул имеет скорость, заключенную в данном интервале значений.
Основная задача статистики состоит в определении числа частиц, энергия которых лежит в заданном интервале. Результатом решения этой статистической задачи является нахождение функции распределения частиц по энергиям, которую обозначают обычно f(E). Если dZ — число возможных состояний ансамбля частиц с энергией, заключенной в интервале от E до E+dE, а dN — число частиц, находящихся в этих состояниях, то по определению
Таким образом, функция распределения частиц по энергиям есть плотность заполнения данных состояний частицами.
Для молекул идеального газа f(E) известна как функция распределения Максвелла-Больцмана:
где С — параметр, не зависящий от энергии; k — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура.
Формулу (3.2) называют часто также каноническим распределением или распределением Гиббса. Из этого распределения можно легко получить известное из молекулярной физики распределение Максвелла молекул идеального газа по скоростям теплового движения. Статистика молекул идеального газа исходит из следующих основных положений:
1. Молекулы газа подчиняются законам классической механики.
2. Молекулы газа обладают индивидуальностью, позволяющей отличать их друг от друга. Поэтому, когда две молекулы, находящиеся в разных состояниях меняют местами, это приводит к новому распределению их по состояниям (новому микросостоянию).
3. Предполагается, что все способы распределения равновероятны.
Предположение о том, что электронный газ в металлах подчиняется статистике Максвелла-Больцмана, опровергается рядом экспериментальных результатов. Например, из этого предположения следует, что электроны должны давать вклад в теплоемкость металлов, который примерно на два порядка больше экспериментально наблюдаемой величины. Противоречие снимается, если учитывать квантовые свойства частиц в кристаллах.
В отличие от классической статистики Максвелла-Больцмана квантовая статистика стоит на точке зрения принципиальной неразличимости тождественных частиц. Поэтому перестановка местами двух квантовых частиц не приводит к новому микросостоянию. Для электронов и всех частиц с полуцелым спином необходимо учитывать также принцип Паули. Согласно этому принципу в одном квантовом состоянии может находиться только одна частица. Такие частицы называются фермионами и подчиняются квантовой статистике Ферми-Дирака. Иной квантовой статистикой описываются частицы с нулевым и целым спином. Эти частицы не подчиняются принципу Паули и в одном состоянии их может бытьсколько угодно. Такие частицы называются бозонами, квантовая статистика, которая описывает их распределение по энергиям, — статистикой Бозе-Эйнштейна. Сравнение этих трех статистик приведено на рис. 3.1 на примере распределения двух частиц по трем состояниям. Различные состояния частиц на этом рисунке изображены клетками.
Все возможные способы распределения двух частиц, подчиняющихся классической статистике Максвелла-Больцмана, по трем состояниям показаны на рис. 3.1,а. Поскольку частицы в этой статистике различимы, они обозначены разным цветом. Всего возможно девять микросостояний, математическая вероятность каждого из них равна 1/9. В квантовых статистиках Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака микросостояния 1 и 2, 3 и 4, 5 и 6 принципиально неразличимы и каждая пара таких состояний должна рассматриваться как одно микросостояние. Для бозонов число возможных микросостояний равно 6 (рис. 3.1,б), а вероятность каждого из них — 1/6. Для фермионов микросостояния, в которых в каждом состоянии находятся по две частицы, реализоваться не могут. Остаются в статистике Ферми-Дирака только три возможных микросостояния, изображенные на рис. 3.1,в. Вероятность каждого из них равна 1/3.
Рис. 3.1. Сравнение различных статистик на примере распределения двух частиц по трем состояниям:
а — статистика Максвелла-Больцмана; б — статистика Бозе-Эйнштейна;
в — статистика Ферми-Дирака
Статистике Бозе-Эйнштейна подчиняются фотоны и фононы, играющие важную роль в физических свойствах твердых тел. Функция распределения Бозе-Эйнштейна имеет вид
Здесь ЕВ — химический потенциал системы бозонов.
Если полное число частиц не фиксировано, а должно определяться из условия термодинамического равновесия, как это имеет место для фотонов при излучении абсолютно черного тела, или фононов в кристалле, химический потенциал равен нулю. В этом случае формула (3.3) совпадает с формулой Планка, определяющей среднее число фотонов в данном типе колебаний теплового излучения абсолютно черного тела.
3.2. Функция распределения Ферми-Дирака. Уровень Ферми.
Энергия Ферми. Влияние температуры на распределение Ферми-Дирака
Функция распределения Ферми-Дирака, описывающая распределение фермионов по состояниям, имеет следующий вид:
здесь EF — химический потенциал системы фермионов, т.е. работа, которую необходимо затратить, чтобы изменить число частиц в системе на одну. В случае электронов величина EF называется энергией Ферми.
Рассмотрим вид функции Ферми-Дирака при температуре, стремящейся к абсолютному нулю. Как нетрудно видеть из формулы (3.4), для любой энергии частицы, большей энергии Ферми, экспонента в знаменателе стремится к бесконечности при , следовательно f(Е) стремится к нулю. Это значит, что все энергетические состояния с Е > EF совершенно свободны при абсолютном нуле. Если Е , f(E) стремится к единице. Это значит, что все квантовые состояния с энергией, меньше энергии Ферми, полностью заняты электронами. Отсюда понятен физический смысл энергии Ферми как параметра распределения электронов по состояниям: энергия Ферми есть максимально возможная энергия электронов в металле при температуре абсолютного нуля. Энергетический уровень, соответствующий энергии Ферми, называется уровнем Ферми.
Вид функции распределения Ферми-Дирака при Т = 0К представлен на рис. 3.2,а. На рис. 3.2,б показано распределение электронов по энергетическим уровням в зоне проводимости металла при этой же температуре.
Если Т ¹ 0К , то при энергии частицы, равной энергии Ферми, функция распределения Ферми-Дирака равна 1/2. Это значит, что при любой температуре, отличающейся от абсолютного нуля, уровень Ферми заполнен наполовину. Вид функции Ферми-Дирака для двух различных температур показан схематически на рис. 3.3. Изменение характера распределения электронов по состояниям связано с тепловым возбуждением электронов. При этом часть электронов переходит в состояния с энергиями, большей энергии Ферми. Соответственно часть состояний ниже уровня Ферми оказывается свободной. В результате функция f(E) «размыта» вблизи энергии Ферми. Тепловому возбуждению подвергается незначительная часть электронов, находящихся вблизи уровня Ферми. Функция Ферми-Дирака заметно отличается от вида, который она имела при абсолютном нуле, лишь при . Величина «размытия» пропорциональна температуре (рис. 3.3). Чем выше температура, тем более существенному изменению подвергается функция распределения.
Рис. 3.3. Функция распределения Ферми-Дирака при Т>0K
Рис. 3.2. Функция распределения Ферми-Дирака (а) и распределение электронов в зоне проводимости металла при Т=0К (б)
экспонента в знаменателе становится значительно больше единицы в формуле (3.4). В этом случае единицей можно пренебречь и распределение Ферми-Дирака преобразуется к виду
Выражение (3.6) совпадает по форме с функцией распределения Максвелла-Больцмана.
Вероятность того, что некоторый энергетический уровень с энергией Е свободен, т.е. занят дыркой, равна
Таким образом, функция распределения Ферми-Дирака для дырок аналогична функции распределения для электронов, если в ней изменить знаки показателей экспонент. Это хорошо согласуется с представлением о том, что дырки являются носителями положительного заряда.
Газ носителей заряда, подчиняющийся статистике Ферми-Дирака, называется вырожденным. Если носители заряда подчиняются статистике Максвелла-Больцмана, то они называются невырожденными.
3.3. Функция плотности состояний электронов и дырок
Для определения числа частиц, имеющих энергию в заданном интервале, необходимо, кроме функции распределения , знать функцию плотности состояний . Эта функция описывает распределение уровней в соответствующих зонах и определяет число уровней, приходящихся на единичный интервал энергии. По определению
Здесь, как и раньше, dZ — число возможных состояний ансамбля частиц (число уровней) с энергией, заключенной в интервале от E до E+dE. Функцию g(E) вычислим для кубического кристалла со стороной L. Энергия электрона у дна зоны проводимости приближенно может быть представлена в виде
здесь энергия дна зоны проводимости, — эффективная масса электрона у дна зоны проводимости, k — квазиимпульс электрона, — его компоненты. Согласно граничным условиям, компоненты квазиимпульса могут принимать только следующие дискретные значения энергии:
Каждому набору чисел nx, ny, nz отвечает некоторое квантовое состояние (квантовый уровень). В пространстве волновых векторов каждому квантовому состоянию соответствует объем , где V — объем кристалла. Эти элементарные кубические ячейки займут в пространстве волновых чисел объем шара радиусом k, соответствующего максимально возможному значению модуля волнового вектора. Выделим шаровой слой, заключенный между двумя поверхностями k = const и k+dk = const. Объем этого слоя составляет . Разделив этот объем на объем элементарной ячейки и умножив на 2, поскольку в каждом состоянии могут находиться по два электрона с противоположно направленными спинами, получим число состояний в объеме шарового слоя:
Подставляя значения k 2 и dk в формулу (3.10), получим
Учитывая (3.8), получим окончательное выражение для плотности квантовых состояний электронов у дна зоны проводимости:
Энергию дырок у потолка валентной зоны можно записать также в виде параболического закона:
где Ev — энергия потолка валентной зоны, — эффективная масса дырки. Вычисления, аналогичные тем, которые были проведены выше для электронов, приводят к следующему выражению для функции плотности состояний дырок вблизи потолка валентной зоны:
Следует подчеркнуть, что формулы (3.11) и (3.13) справедливы только для состояний вблизи экстремумов энергии, т.е. у дна или потолка энергетической зоны. В средней же части зоны точный вид функции g(E) неизвестен. На рис. 3.4 схематически представлены зависимости плотности квантовых уровней вблизи дна зоны проводимости и потолка валентной зоны.
Рис. 3.4. Плотность уровней в зоне проводимости и в валентной зоне
Площадь заштрихованных областей пропорциональна числу уровней в интервале энергий dE
3.4. Концентрации электронов и дырок в полупроводнике.
Закон действующих масс. Невырожденный газ электронов и дырок
Вычислим концентрацию электронов в зоне проводимости полупроводника. Число электронов dN, находящихся в dZ состояниях энергетической зоны в соответствии с уравнением (3.1) определяется выражением
Учитывая, что dZ = g(E) dE, получим
Общее число электронов в зоне проводимости найдем, проинтегрировав выражение (3.14) в пределах зоны
здесь Еп — энергия потолка зоны проводимости. Поскольку функция распределения Ферми-Дирака очень быстро уменьшается с увеличением энергии, то верхний предел интегрирования можно взять равным бесконечности. Если степень заполнения энергетических состояний электронами в зоне проводимости мала (f(E)
Преобразуем теперь выражение (3.16) к виду
Произведем замену переменных в подынтегральном выражении
Интеграл в этом выражении равен . Следовательно
Величину Nc называют эффективной плотностью состояний в зоне проводимости. Это название связано с тем, что полная концентрация электронов, распределенных в действительности в определенном энергетическом интервале в зоне проводимости, такая же, как если бы зона была занята Nc уровнями, обладающими одной и той же энергией Еc.
Аналогично можно вычислить концентрацию дырок в валентной зоне. Поскольку вакантное состояние в валентной зоне образуется в результате перехода электрона из этого состояния в зону проводимости, то вероятность того, что состояние с энергией Е в валентной зоне не занято, равна .
здесь Ev — потолок валентной зоны.
При условии, что газ дырок невырожденный, получим
где эффективная плотность состояний в валентной зоне
Перемножая выражения (3.17) и (3.19), получим
где ni — концентрация собственных носителей заряда в полупроводнике, Eg= Ec — Ev — ширина запрещенной зоны.
Соотношение (3.21) называется законом действующих масс. При выводе этого закона использовано предположение о том, что степень заполнения энергетических уровней носителями заряда много меньше единицы. Такой газ носителей называется невырожденным, а полупроводники — невырожденными.
В общем случае вырожденным газом в физике называется газ, свойства которого отличаются от свойств классического идеального газа вследствие квантово-механических свойств частиц газа. Вырожденный газ подчиняется квантово-механическим статистикам Ферми-Дирака или Бозе-Эйнштейна, невырожденный газ — статистике Маквелла-Больцмана. Условием перехода газа в невырожденное состояние является выполнение неравенства f(E)
Аналогичное соотношение справедливо и для дырок с заменой n на p и на .
Вопрос о том, является газ носителей заряда в кристалле вырожденным или невырожденным определяется только его концентрацией и температурой. Подстановка численных значений величин, входящих в неравенство (3.22), приводит к выводу о том, что при комнатной температуре (Т
300К) газ носителей будет невырожденным, если его концентрация значительно меньше 10 25 м -3 . Это условие выполняется практически для всех полупроводников. Поскольку концентрация электронов в зоне проводимости металлов превышает 10 28 м -3 , то электронный газ металлов всегда является вырожденным.
Таким образом, закон действующих масс выполняется для любого невырожденного полупроводника независимо от роли примесей, т.е. в любом невырожденном полупроводнике увеличение концентрации носителей одного знака приводит к уменьшению концентрации носителей противоположного знака. Следует отметить также, что произведение электронной и дырочной концентраций не зависит от положения уровня Ферми.
3.5. Уровень Ферми в полупроводниках
Понятия энергии Ферми и уровня Ферми были введены ранее для металлов. Поскольку в полупроводниках функция распределения электронов по состояниям имеет тот же вид, что и в металлах, то энергия Ферми в полупроводниках имеет тот же физический смысл: энергия Ферми — это максимально допустимая энергия, ниже которой при нулевой абсолютной температуре все энергетические уровни заняты [f(E) = 1], а выше которой все уровни пусты [f(E) = 0]. Для полупроводников, у которых при абсолютном нуле валентная зона полностью заполнена, а зона проводимости совершенно свободна, функция распределения имеет разрыв. Следовательно, уровень Ферми в полупроводнике должен лежать при абсолютном нуле в запрещенной зоне.
Для собственного полупроводника концентрации электронов и дырок равны (n = p), т.к. каждый электрон, покинувший валентную зону, создает одну дырку. Приравнивая равенства (3.17) и (3.19), получим
Разрешая последнее равенство относительно ЕF, получим
Если эффективные массы электронов и дырок равны [ = , = 0] уровень Ферми собственного полупроводника при любой температуре располагается посередине запрещенной зоны.
Температурная зависимость положения уровня Ферми в собственном полупроводнике определяется третьим слагаемым в уравнении (3.23). Если эффективная масса дырки в валентной зоне больше эффективной массы электрона в зоне проводимости, то уровень Ферми смещается с повышением температуры ближе к дну зоны проводимости. В противоположном случае уровень Ферми смещается к потолку валентной зоны. Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике с изменением температуры схематически показано на рис. 3.5.
Для большинства полупроводников эффективная масса дырки не намного превышает эффективную массу электрона и смещение уровня Ферми с изменением температуры незначительно. Однако у антимонида индия (InSb) , а ширина запрещенной зоны невелика (Eg = 0,17 эВ), так что при Т > 450 K уровень Ферми входит в зону проводимости. При этой температуре полупроводник переходит в вырожденное состояние.
Рис. 3.5. Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике
Положение уровня Ферми в примесных полупроводниках может быть найдено из условия электронейтральности кристалла. Для донорного полупроводника это условие записывается в виде
здесь Nd — концентрация донорных уровней, nd — концентрация электронов на донорных уровнях. Концентрация электронов в зоне проводимости равна сумме концентраций дырок в валентной зоне и концентрации положительно заряженных ионов доноров (последняя, очевидно, равна N d — nd).
Концентрацию электронов на донорных уровнях можно вычислить, умножив концентрацию этих уровней Nd на функцию распределения Ферми-Дирака:
где Еd — энергия активации донорных уровней.
Подстановка в условие электронейтральности (3.24) концентраций электронов (3.17) и дырок (3.19), а также концентрации электронов на донорных уровнях (3.25) приводит к следующему уравнению относительно положения уровня Ферми ЕF :
При подстановке концентрации электронов на донорных уровнях в уравнение (3.24 ) было сделано предположение, что газ электронов примесных атомов невырожденный, что позволило пренебречь единицей в знаменателе формулы (3.25).
Уравнение (3.26) ввиду его сложности обычно в общем виде не решают, а ограничиваются рассмотрением частных случаев. Например, при низких температурах, когда электроны в зоне проводимости появляются в основном за счет переходов с примесных уровней, а концентрация дырок близка к нулю, решение уравнения (3.26) имеет вид
Из уравнения (3.27) следует, что при абсолютном нуле температуры энергия Ферми донорного полупроводника находится строго посередине между дном зоны проводимости и донорными уровнями. Температурная зависимость положения уровня Ферми определяется третьим членом в уравнении (3.27), который меняет знак с изменением температуры. Поэтому уровень Ферми с повышением температуры сначала смещается к зоне проводимости, а затем — к валентной зоне (рис. 3.6,а).
Аналогично можно получить выражение для температурной зависимости уровня Ферми в акцепторном полупроводнике. График этой зависимости схематически приведен на рис. 3.6,б.
3.6. Равновесные и неравновесные носители заряда. Квазиуровни Ферми
Положение уровня Ферми в собственных и примесных полупроводниках связано с концентрацией носителей заряда, установившейсяпри данной температуре в состоянии термодинамического равновесия. Переброс электронов в зону проводимости за счет температурного возбуждения и возникновение в результате этого процесса дырок в валентной зоне называется термической генерацией свободных носителей заряда. Одновременно происходит и обратный процесс: электроны возвращаются в валентную зону, в результате чего исчезают электрон и дырка. Этот процесс называется рекомбинацией носителей заряда. Для количественного описания процессов генерации и рекомбинации носителей заряда в полупроводниках используют понятия скорости генерации, скорости рекомбинации и времени жизни носителей заряда.
Скорость генерации носителей — это число носителей, возбуждаемых в единичном объеме полупроводника за единицу времени.
Скорость рекомбинации носителей — это число носителей, рекомбинирующих в единице объема полупроводника за единицу времени.
Время жизни носителeй t — это среднее время от генерации носителя до его рекомбинации.
Из приведенных выше определений непосредственно следуют следующие соотношения между скоростями рекомбинации электронов Rn и дырок Rp и их временами жизни t n и t p соответственно:
Здесь учтено, что 1/ t — вероятность рекомбинации носителя за единицу времени.
При фиксированной температуре устанавливается термодинамическое равновесие, при котором процессы генерации и рекомбинации взаимно уравновешиваются. Такие носители, находящиеся в тепловом равновесии с кристаллической решеткой, называются равновесными.
Электропроводность полупроводника может быть возбуждена и другими способами, например, облучением светом, действием ионизирующих частиц, электрическим полем, инжекцией носителей через контакт и др. Во всех этих случаях дополнительно к равновесным носителям в полупроводнике возникают носители заряда, которые не будут находиться в состоянии теплового равновесия с кристаллом. Такие носители называются неравновесными.
Общую концентрацию электронов в зоне проводимости n в случае равновесных и неравновесных носителей можно представить в виде
где n0 – концентрация равновесных электронов; D n — концентрация неравновесных электронов.
где p0 и D p — равновесная и неравновесная концентрации дырок соответственно.
Поскольку распределение Ферми-Дирака справедливо только для состояния термодинамического равновесия, то понятно, что статистика неравновесных носителей должна быть иной. В отсутствие термодинамического равновесия принято вводить два новых параметра распределения EFn для электронов и EFp для дырок. Эти параметры выбираюттаким образом, чтобы для концентраций электронов и дырок при наличии неравновесныхносителей выполнялись уравнения (3.17) и (3.19) соответственно при условии замены EF на EFn для электронов и на EFp для дырок. Величины EFn и EFp называют квазиуровнями Ферми электронов и дырок соответственно. Таким образом, в невырожденных полупроводниках справедливы уравнения
Поскольку при наличии избыточных носителей заряда закон действующих масс не выполняется ( ), т.к. нет никакой зависимости между D n и D p, квазиуровни Ферми для электронов и дырок разные и не совпадают с равновесным уровнем Ферми (рис.3.7).
В состоянии термодинамического равновесия квазиуровни Ферми совпадают с равновесным уровнем Ферми EF. Чем выше концентрация неравновесных носителей заряда, тем дальше отстоят квазиуровниФерми от уровня Ферми. Из уравнений (3.31), (3.32), (3.17) и (3.19) следует
Это соотношение выражает связь между концентрациями электронов и дырок в неравновесном состоянии. Разность энергий характеризует отклонение от состояния термодинамического равновесия. Если np > n0 · p0, то . Это условие соответствует инжекции (вбрасыванию) избыточных носителей. Если np
Неравновесные носители играют важную роль в работе полупроводниковых приборов.